miércoles, 13 de octubre de 2010

Cicloides, epicicloides e hipocicloides


Es una curva plana que describe un punto que está fijo en una circunferencia llamada generatriz y que rueda sin resbalar sobre una recta. Si en vez de rodar sobre una recta lo hace en el interior de una circunferencia directriz hablamos de una hipocicloide, si lo hace en el exterior hablamos de una epicicloide. En la figura se ha dividido la longitud de la circunferencia sobre la recta en partes iguales mediante el teorema de Thales.



Un punto de una circunferencia que se desplaza sobre una línea recta sin deslizamiento genera una cicloide.
Para construirla dividimos la circunferencia por ejemplo, en 8 partes iguales, la rectificamos, esto es, la convertimos en una línea cuya longitud es el diámetro por pi (long. de la circunferencia = 2.PI.R).
Cogemos el diámetro de la circunferencia y lo extendemos 3,14 veces sobre la base de la misma a partir de P.
Dividimos en 8 partes iguales el segmento rectificado por la línea 6-2 a partir del centro de la circunferencia.
La intersección de la circunferencia de centro 01 y mismo radio que la original con la línea 7-1 nos genera el primer punto.
La intersección de la circunferencia de centro 02 y mismo radio que la original con la línea 6-2 nos genera el segundo punto.
La intersección de la circunferencia de centro 03 y mismo radio que la original con la línea 5-3 nos genera el tercer punto, etc.


El área bajo la curva es tres veces la circ. que gira, esto quiere decir que las tres regiones (amarillo, verde, azul), tienen igual área.

El lugar geométrico de los centros de curvatura se llama evoluta, como podemos ver la evoluta de la cicloide es ella misma.
Si le damos la vuelta a la curva que está en el centro,  podemos ver que en las rectas tangentes pueden ser el péndulo de un reloj cicloidal, en su movimiento el extremo de estas tangentes describen una cicloide. Este es un ejemplo de un reloj mucho más preciso inventado por Huygens, un reloj de péndulo cicloidal.

La cicloide invertida y sus propiedades:

La cicloide es una curva Tautócrona O también llamada isocrona, que quiere decir que si se dejan dos partículas u objetos pesantes -esferas de color roja y amarilla del dibujo-  en cualquier punto de la curva, descienden por la curva invertida de la cicloide de manera que llegan al mismo tiempo y de forma simultánea al punto B. Es igual donde depositemos las esferas, tanto si lo hacemos en el punto donde está la esfera roja como dónde está la esfera amarilla o en cualquier otro punto, al soltarlos al mismo tiempo descienden siempre de manera que llegan al punto B al mismo tiempo.
Otra propiedad de esta cicloide invertida es que los objetos caen en el menor tiempo posible, por eso se dice que también es baquistócrona.


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EPICICLOIDES:



Cardioide:

Es otra ruleta de tipo epicicloide, la verde gira sobre la amarilla sin desplazamiento generando el contorno o envolvente de las circunferencias  de centros sobre la amarilla y radios hasta D.



Nefroide:




Es otra ruleta de tipo epicicloide, la rosa gira sobre la verde sin desplazamiento generando el contorno o envolvente de las circunferencias  de centros sobre la circunferencia verde y radios hasta el eje de simetría central.

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HIPOCICLOIDES:

Astroide:


Es una hipocicloide o curva que describe un punto de la circunferencia rosa al girar sin desplazamiento por dentro de la grande negra. La relación entre radios de ambas es 1/2.




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Páginas de curvas geométricas:

http://webs.ono.com/joaquinmateopo0/CURVAS%20MARAVILLOSAS/index.htm

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Otras curvas planas:
http://curvas-conicas.blogspot.com/

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