Evolvente de una circunferencia

Construimos una circunferencia y la dividimos en partes iguales, 12 por ejemplo. En cada uno de los puntos donde los diámetros cortan a la circunferencia T1, T2, T3, T4, etc., hacemos rectas tangentes a la circunferencia: T1-A, T2-B, T3-C, etc.
Con centro en T1 y radio T1-T12 hacemos un arco hasta T1-A, punto de corte con la 1ª recta tangente A.
Con centro en T2 y radio hasta donde concluye el primer arco anterior hacemos el segundo arco hasta B.
Con centro en T3 y radio hasta donde concluye el 2º arco anterior hacemos el 3º arco hasta C y así sucesivamente.

La evolvente es el dibujo que hace un punto del extremo de un cordel que se desenrolla de una circunferencia. Un ejemplo de esta curva lo tenemos en el flanco de una rueda dentada.
La evoluta de la evolvente del círculo, esto es, el lugar geométrico de los centros de curvatura de la evolvente es la circunferencia en la que se hace centro para realizar los arcos de la espiral.



El lugar geométrico de los centros de curvatura de cualquier curva es una evoluta. Por tanto la evoluta de esta espiral evolvente de la circunferencia es una circunferencia.

Óvalos

Método general
Se trata de hacer una figura parecida a la elipse pero que se pueda trazar con arcos de circunferencia. Dados los semidiámetros mayor, AB y menor, BM. Se traza la circunferencia de radio AB y centro en B. Con centro en M se traza la circunferencia tangente a la anterior. Se une M y A, segmento que corta a la circunferencia de centro M en D.
Se hace la mediatriz h de AD y corta a AB en T y a BM en U.
T y U son los centros de las circunferencias que generan el óvalo. (Del otro lado serán los puntos simétricos de éstos respecto a los ejes).

En las tres figuras a color podemos ver resuelto el ejercicio anterior tomando diferentes tamaños en las circunferencias superiores de manera que el eje menor del óvalo tenga distintas longitudes. Observamos que cuanto mayor es esa circunferencia interior, más excéntrico o alargado es el óvalo, observamos también los puntos A B en los que se hace centro con el radio correspondiente y sus puntos simétricos, centros de los arcos simétricos respecto a los dos ejes del óvalo.

De esta forma podemos escoger la curva que más se asemeje a la elipse ya que esta última no se puede representar con arcos de circunferencia y supone mayor dificultad su dibujo por lo que el óvalo puede ser un sustitutivo de la misma. Si superponemos ambas curvas podemos observar que en la elipse se nota menos la transición entre la mayor y menor curvatura, mientras que en el óvalo, en el punto de tangencia que separa ambos arcos se nota una ruptura que hace que la curva sea menos suave en ese punto.

Fundamento del método anterior

Podemos utilizar otro método general para hacer óvalos. Como es una figura formada por el enlace de dos arcos de circunferencia (a1, a2) basta con hacer una circunferencia menor con un radio R1 y trasladar mediante un giro este radio al eje vertical (R2 a R3), el centro del nuevo arco mayor estará en una recta m que pasa por el centro C de la circunferencia menor y corta al eje vertical v en un punto ( fuera del dibujo, en azul), este punto es el centro del arco mayor del óvalo.

Los demás puntos son elementos simétricos respecto a los ejes del óvalo.

Dos circunferencias enlazadas mediante el arco CD. El punto de tangencia que enlaza el arco mayor y menor del óvalo está alineado con los dos centros de los dos arcos.

Este método se viene haciendo para construir un ovoide dado el eje menor, no obstante si hacemos la simétrica respecto a la vertical tenemos un óvalo. Se hacen los dos diámetros ortogonales de la circunferencia y en los puntos de corte con ella S M se pasa una recta. Se hace centro en S con la distancia ST hasta que corte a la prolongación de SM en el que va ser el punto de tangencia C. Se hace centro en el punto M y con el radio MC construimos el arco que nos queda.


Construcción de un óvalo dentro de un cuadrilátero en forma de rombo. Por C , vértice superior del eje menor, se hace una perpendicular a la recta DB, este es el punto de tangencia que enlaza el arco de centro C y radio CP’. El centro del otro arco O2 es la intersección de la recta CP’ con el eje AB.

Construcción de un óvalo dado el eje mayor. Dividimos el eje mayor en tres partes iguales y hacemos dos circunferencias tomando como centro las divisiones interiores. En la intersección de las dos circunferencias hacemos centros O1 O2 para enlazar ambas con un arco mayor. Si alineamos los puntos de intersección de las circunferencias O3 O4 con los centros de las dos circunferencias O1 O2 tenemos una recta que corta a las dos circunferencias en los puntos de tangencia donde se enlaza el arco mayor con el menor.

Óvalo de cuatro partes

 óvalo según el método general

 si hacemos la simétrica del ovoide obtenemos la construcción del óvalo

Óvalo de tres partes iguales

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Espiral de Arquímedes

Hacemos circunferencias concéntricas equidistantes (en verde) y dividimos las circunferencias en un número de diámetros 1, 2, 3, 4, 5, etc., que las corten en sectores circulares iguales, por ejemplo de 30º.
La línea que va del centro N a la intersección de la primera circunferencia con el primer diámetro 1 nos genera la 1ª curva de la espiral. La 2º circunferencia con el 2º diámetro 2 nos genera la siguiente curva de la espiral, etc.

Como toda espiral, es una curva abierta y plana y se genera por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta que gira en torno a uno de sus extremos con una velocidad angular constante. La curva que se enrolla sobre sí misma crece uniformemente en progresión aritmética, esto quiere decir que la distancia de un brazo a otro siempre se genera sumando la misma dimensión. Un ejemplo práctico de la espiral de Arquímedes lo tenemos en la trompa de la mariposa, en los dibujos y ornamentos de la cerámica que se aplican por desplazamiento del pincel en la figura torneada, en los muelles de compresión de líquidos y gases, en muelles de relojes, en los surcos de los discos de vinilo, en los fósiles y en todas las formas espirales en las que las distancias entre los brazos son siempre constantes o en los que en cada rotación hay siempre una contracción o dilatación constante.

Cuadriláteros con vértices sobre espirales arquimedianas.

La inversa de una espiral arquimediana es una espiral hiperbólica.

Espiral de Durero en rectángulo áureo

Hacemos un cuadrado de base CD. En su punto medio M y con radio MA (A es el vértice superior derecho del cuadrado) hacemos el arco que corta a CD en B.
Levantando por B una vertical y por A haciendo una horizontal encontramos en su intersección el punto T. El cuadrado original más el rectángulo ATDB es un rectángulo áureo y éste último es proporcional a la suma de los dos. Por analogía, dentro de ATDB podemos ubicar otro cuadrado de lado AT y así hasta el infinito.
Dentro de cada rectángulo que obtenemos por este procedimiento colocamos un cuadrado.
Para construir la espiral, hacemos centro en D (O1) con radio DC y obtenemos el primer arco. Luego, con centro en O2 y radio O2-A hacemos el 2º arco, después con centro en O3 y radio hasta donde concluye el último arco hacemos el 3º. Procedemos análogamente con los siguientes arcos, centro en O4, O5, etc.

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AB=AE+EB; AB/AE=AE/EB
la espiral de Durero, mal llamada logarítmica, pero muy análoga en forma y propiedades, tiene un crecimiento de anchura uniforme y continua. Es una espiral equiangular y la distancia entre sus brazos se incrementa en progresión geométrica, esto quiere decir que en vez de ir sumando la misma dimensión para pasar de un brazo al otro como pasa con las de progresión aritmética, pues hay que multiplicar por un número constante cada brazo. Por ejemplo si un brazo pasa por el punto 1 y crece en una progresión constante de dos unidades, el siguiente tramo pasará por el punto 2, el siguiente por el 4, el siguiente por el 8, el siguiente por el 16, etc. Obtendremos los siguientes puntos multiplicando por dos.
Es una espiral que se da en los tornados, en las conchas de moluscos, en la trayectoria que siguen los insectos para buscar la luz, en la trayectoria que sigue el halcón para cazar su presa, en las galaxias, en las telas de araña, en las superficies de fallas, en las curvas de la borrasca, en la concha del caracol, en las de las piñas, en la estructura de las curvas de la superficie del erizo, en los desagües, en las curvas de dónde salen las cuerdas de los violines, en los bordes de las rosas de los pétalos, etcétera.


En un rectángulo áureo (el rojo más el azul) hacemos una circunferencia con centro en B y con el radio BC. Hacemos otra verde con centro en A y radio AB. La intersección de las 2 nos determina el punto M, que junto a A y B definen el triángulo áureo, señalado con una trama verde.

En el triángulo áureo cogemos el centro B y con el radio AB obtenemos D en la intersección con AC. Luego con centro en A y radio AD obtenemos M, con centro en D y radio DM obtenemos E y así sucesivamente.
Para obtener la espiral hacemos centro en D con radio DC y hacemos un arco hasta B. Hacemos centro en M y con radio MB hasta A.
Hacemos centro en E y con radio EA hasta D.
Hacemos centro en F y con radio FD hasta M.
Hacemos centro en G y con radio GM hasta E. Etc.

Espiral de Durero en rectángulo áureo en distintos colores.

Figura anterior duplicada mediante una simetría central o giro de 180 grados.

Ovoide

Ovoide Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Construir un ovoide por el método general Dadas dos circunferencias de radios r1 r2 (en color amarillo), se pide hacer el enlace de ambas mediante dos arcos o1 o2 tangentes a las mismas. Se toma el radio de la menor r2 y se coloca en el extremo del radio de la mayor, el extremo del mismo P se une con el centro S de la circunferencia menor y se hace la mediatriz m de esta recta a. Donde la mediatriz m corta a la prolongación del diámetro d tenemos el centro C del nuevo arco o1 que enlaza ambas circunferencias. Los puntos de tangencia T1 T2 se obtienen en la intersección de la prolongación de las rectas que pasan por los centros de las circunferencias azules menores y C y las circunferencias azules menores. Para hallar el arco del otro lado o2 tomamos como centro del arco el simétrico de C respecto al eje de simetría e del óvalo. Se trata de enlazar 2 circunferencias (de centro O y C) mediante otro arco tangente TP a las mismas. Hacemos dos circunferencias y colocamos el radio de la menor R1 a partir del diámetro horizontal de la mayor desde el punto T. Donde termina ese radio (en A) lo unimos con el centro de la circunferencia menor C y tenemos el segmento AC. Hacemos su mediatriz m (o perpendicular por el punto medio de AC) que corta a TO (diámetro horizontal de la circunferencia) en B. Con centro en B y radio BT hacemos un arco hasta P, punto de intersección de BC con la circunferencia menor. Construcción del ovoide dado el eje mayor AB. Se divide el eje mayor en seis partes iguales y por el punto dos se hace un eje perpendicular a él. Con centro en la intersección de los dos ejes se hace una semicircunferencia que corta al eje horizontal en los puntos PQ. Se une el punto P con la que el punto cinco de la división del eje vertical AB. Con centro en la intersección de los dos ejes y radio igual a dos se hace una semicircunferencia con lo que tenemos el arco superior del ovoide. Este arco tiene por diámetro la longitud HI. Con centro en el punto Q y radio la distancia de H a Q hacemos un arco hasta que corte a la línea que pasa por el punto cinco en el punto N. La intersección de las dos líneas que pasan por el punto cinco es el centro del arco NBM. Construcción de un ovoide dado el eje menor ST. Por O2 – T se hace una recta y se prolonga, por el punto S-O2 se hace otra recta que también se prolonga. Hacemos un arco con centro en el punto T y con el radio TS hasta que corte a la prolongación de la recta O2 – T en el punto A. Del otro lado hacemos lo mismo y obtenemos el punto B. Con centro en el punto O2 y radio la distancia O2-A hacemos otro arco hasta B, con lo cual queda completada la figura.  Construcción del  ovoide por el método anterior (dado el eje menor), también se llama ovoide recto.

Volutas

La voluta es la espiral cuyos centros son los vértices de un polígono regular, a este polígono se le llama matriz o núcleo. A las prolongaciones de los lados del polígono o núcleo se le llama radios vectores y como lo que se gira cada vez es un lado del polígono, al girar todos los lados del polígono estaremos llevando mediante arcos de circunferencia la medida que cada uno de los lados hasta obtener la del perímetro de todo el polígono. A este perímetro del núcleo se le denomina paso de la voluta y es una vuelta completa. Por ejemplo, en la figura, si el arco de espiral empieza en el punto tres, el paso o vuelta completa termina en el arco que corta al segmento 1-3.

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Aquí observamos la voluta con sus centros respectivos. Observamos que la zona comprendida entre dos radios vectores genera arcos concéntricos.

Espiral cuya matriz o núcleo es un cuadrado.

Voluta de tres centros y un paso. Hacemos centro en el punto a con la distancia AC hasta que corte a la prolongación de la recta AB. Hacemos centro en el punto B con la distancia BJ hasta que corte a la prolongación de la recta BC en el punto K.

Hacemos centro en el punto C con la distancia CK hasta que corte a la prolongación de la recta AC en el punto L.

La longitud CL es igual al perímetro del triángulo, ya que hemos hecho tres arcos cuyos lados se han ido añadiendo hasta tener el perímetro total de la figura.

Espiral cuya matriz es un pentágono regular.


En el momento en el que un polígono incrementa su número de lados hasta transformarse en una circunferencia, la voluta se convierte en la envolvente del círculo.

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Triángulo más cuadrado en la figura
Podemos ver un triángulo equilátero y un cuadrado que tienen sus lados del mismo tamaño, la voluta genera los dos primeros arcos a b idénticos en ambas figuras hasta que b toca al lado que es la prolongación del cuadrado y que genera la voluta.
Como la espiral del cuadrado se abre más que la del triángulo, llega un momento tras su separación de la espiral del triángulo, en el que vuelve a coincidir con ella, y lo hace siempre de forma cíclica y constante. Esto ocurre, según vemos en el dibujo en las franjas c y d.

En el dibujo aparece  señalados los arcos coincidentes de forma cíclica.

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Péntágono más cuadrado

En el dibujo vemos el mismo ejemplo que en el anterior, aunque generado con un cuadrado y un pentágono regular.

Podemos observar en el siguiente dibujo el cuadrado y pentágono regular, en el se contemplan los arcos repetitivos en el mismo color coincidentes después de cierto número de vueltas.

En el dibujo  se puede observar en detalle como la espiral del pentágono se abre más y alcanza a la espiral del triángulo en la segunda franja azul.

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Espiral voluta de un triángulo equilátero

Construimos un polígono regular y prolongamos sus lados. Hacemos centro en uno de sus vértices 1 con radio la longitud de un lado del polígono 1-3. Hacemos a continuación centro en el vértice consecutivo 2 y radio el que se determina hasta el punto donde termina el último arco de radio 1-3. Procedemos así sucesivamente con los demás puntos.

Voluta This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Cicloides, epicicloides e hipocicloides

Es una curva plana que describe un punto que está fijo en una circunferencia llamada generatriz y que rueda sin resbalar sobre una recta. Si en vez de rodar sobre una recta lo hace en el interior de una circunferencia directriz hablamos de una hipocicloide, si lo hace en el exterior hablamos de una epicicloide. En la figura se ha dividido la longitud de la circunferencia sobre la recta en partes iguales mediante el teorema de Thales.

Un punto de una circunferencia que se desplaza sobre una línea recta sin deslizamiento genera una cicloide.
Para construirla dividimos la circunferencia por ejemplo, en 8 partes iguales, la rectificamos, esto es, la convertimos en una línea cuya longitud es el diámetro por pi (long. de la circunferencia = 2.PI.R).
Cogemos el diámetro de la circunferencia y lo extendemos 3,14 veces sobre la base de la misma a partir de P.
Dividimos en 8 partes iguales el segmento rectificado por la línea 6-2 a partir del centro de la circunferencia.
La intersección de la circunferencia de centro 01 y mismo radio que la original con la línea 7-1 nos genera el primer punto.
La intersección de la circunferencia de centro 02 y mismo radio que la original con la línea 6-2 nos genera el segundo punto.
La intersección de la circunferencia de centro 03 y mismo radio que la original con la línea 5-3 nos genera el tercer punto, etc.

El área bajo la curva es tres veces la circ. que gira, esto quiere decir que las tres regiones (amarillo, verde, azul), tienen igual área.

El lugar geométrico de los centros de curvatura se llama evoluta, como podemos ver la evoluta de la cicloide es ella misma.

Si le damos la vuelta a la curva que está en el centro,  podemos ver que en las rectas tangentes pueden ser el péndulo de un reloj cicloidal, en su movimiento el extremo de estas tangentes describen una cicloide. Este es un ejemplo de un reloj mucho más preciso inventado por Huygens, un reloj de péndulo cicloidal.

La cicloide invertida y sus propiedades:

La cicloide es una curva Tautócrona O también llamada isocrona, que quiere decir que si se dejan dos partículas u objetos pesantes -esferas de color roja y amarilla del dibujo-  en cualquier punto de la curva, descienden por la curva invertida de la cicloide de manera que llegan al mismo tiempo y de forma simultánea al punto B. Es igual donde depositemos las esferas, tanto si lo hacemos en el punto donde está la esfera roja como dónde está la esfera amarilla o en cualquier otro punto, al soltarlos al mismo tiempo descienden siempre de manera que llegan al punto B al mismo tiempo.

Otra propiedad de esta cicloide invertida es que los objetos caen en el menor tiempo posible, por eso se dice que también es baquistócrona.

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EPICICLOIDES:

Cardioide:

Es otra ruleta de tipo epicicloide, la verde gira sobre la amarilla sin desplazamiento generando el contorno o envolvente de las circunferencias  de centros sobre la amarilla y radios hasta D.

Centros de curvatura y radios de las distintas circunferencias

Nefroide:

Es otra ruleta de tipo epicicloide, la rosa gira sobre la verde sin desplazamiento generando el contorno o envolvente de las circunferencias  de centros sobre la circunferencia verde y radios hasta el eje de simetría central.

Centros de curvatura y radios de las distintas circunferencias.

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HIPOCICLOIDES:

Astroide:

Es una hipocicloide o curva que describe un punto de la circunferencia rosa al girar sin desplazamiento por dentro de la grande negra. La relación entre radios de ambas es 1/2.

Todas los segmentos  tangentes a la curva son iguales:  1=2, etc.

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Páginas de curvas geométricas:

http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml

http://webs.ono.com/joaquinmateopo0/CURVAS%20MARAVILLOSAS/index.htm

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Otras curvas planas:
http://curvas-conicas.blogspot.com/