Curvas planas: Óvalos

Método general
Se trata de hacer una figura parecida a la elipse pero que se pueda trazar con arcos de circunferencia. Dados los semidiámetros mayor, AB y menor, BM. Se traza la circunferencia de radio AB y centro en B. Con centro en M se traza la circunferencia tangente a la anterior. Se une M y A, segmento que corta a la circunferencia de centro M en D.
Se hace la mediatriz h de AD y corta a AB en T y a BM en U.
T y U son los centros de las circunferencias que generan el óvalo. (Del otro lado serán los puntos simétricos de éstos respecto a los ejes).

En las tres figuras a color podemos ver resuelto el ejercicio anterior tomando diferentes tamaños en las circunferencias superiores de manera que el eje menor del óvalo tenga distintas longitudes. Observamos que cuanto mayor es esa circunferencia interior, más excéntrico o alargado es el óvalo, observamos también los puntos A B en los que se hace centro con el radio correspondiente y sus puntos simétricos, centros de los arcos simétricos respecto a los dos ejes del óvalo.

De esta forma podemos escoger la curva que más se asemeje a la elipse ya que esta última no se puede representar con arcos de circunferencia y supone mayor dificultad su dibujo por lo que el óvalo puede ser un sustitutivo de la misma. Si superponemos ambas curvas podemos observar que en la elipse se nota menos la transición entre la mayor y menor curvatura, mientras que en el óvalo, en el punto de tangencia que separa ambos arcos se nota una ruptura que hace que la curva sea menos suave en ese punto.

Fundamento del método anterior

Podemos utilizar otro método general para hacer óvalos. Como es una figura formada por el enlace de dos arcos de circunferencia (a1, a2) basta con hacer una circunferencia menor con un radio R1 y trasladar mediante un giro este radio al eje vertical (R2 a R3), el centro del nuevo arco mayor estará en una recta m que pasa por el centro C de la circunferencia menor y corta al eje vertical v en un punto ( fuera del dibujo, en azul), este punto es el centro del arco mayor del óvalo.

Los demás puntos son elementos simétricos respecto a los ejes del óvalo.

Dos circunferencias enlazadas mediante el arco CD. El punto de tangencia que enlaza el arco mayor y menor del óvalo está alineado con los dos centros de los dos arcos.

Este método se viene haciendo para construir un ovoide dado el eje menor, no obstante si hacemos la simétrica respecto a la vertical tenemos un óvalo. Se hacen los dos diámetros ortogonales de la circunferencia y en los puntos de corte con ella S M se pasa una recta. Se hace centro en S con la distancia ST hasta que corte a la prolongación de SM en el que va ser el punto de tangencia C. Se hace centro en el punto M y con el radio MC construimos el arco que nos queda.

Construcción de un óvalo dentro de un cuadrilátero en forma de rombo. Por C , vértice superior del eje menor, se hace una perpendicular a la recta DB, este es el punto de tangencia que enlaza el arco de centro C y radio CP’. El centro del otro arco O2 es la intersección de la recta CP’ con el eje AB.

Construcción de un óvalo dado el eje mayor. Dividimos el eje mayor en tres partes iguales y hacemos dos circunferencias tomando como centro las divisiones interiores. En la intersección de las dos circunferencias hacemos centros O1 O2 para enlazar ambas con un arco mayor. Si alineamos los puntos de intersección de las circunferencias O3 O4 con los centros de las dos circunferencias O1 O2 tenemos una recta que corta a las dos circunferencias en los puntos de tangencia donde se enlaza el arco mayor con el menor.